圆型限制性三体问题（CR3BP）：平衡点、雅可比常数与零速度面¶

本文承接《圆型限制性三体问题》前 11 节。此前已经建立 CR3BP 的旋转坐标系、无量纲运动方程和伪势函数。本篇从伪势函数出发，继续讨论五个拉格朗日点、雅可比常数以及零速度曲线／零速度面。

沿用此前的定义：两个主天体分别位于

\[ P_1=(-\mu,0,0), \qquad P_2=(1-\mu,0,0), \]

第三体的位置为

\[ \boldsymbol\rho= \begin{bmatrix} x&y&z \end{bmatrix}^T, \]

它到两个主天体的距离分别是

\[ d=\sqrt{(x+\mu)^2+y^2+z^2}, \]

\[ r=\sqrt{(x-1+\mu)^2+y^2+z^2}. \]

无量纲伪势函数为

\[ \boxed{ \Omega(x,y,z) =\frac12(x^2+y^2) +\frac{1-\mu}{d} +\frac{\mu}{r} } \]

运动方程可以写成

\[ \ddot x-2\dot y=\Omega_x, \]

\[ \ddot y+2\dot x=\Omega_y, \]

\[ \ddot z=\Omega_z, \]

其中下标表示偏导数，例如

\[ \Omega_x=\frac{\partial\Omega}{\partial x}. \]

部分文献使用 $\Upsilon$ 表示同一个伪势函数。只要定义一致，$\Omega$ 和 $\Upsilon$ 只是符号不同。本文继续沿用前一篇笔记中的 $\Omega$。

12. CR3BP 的平衡解¶

12.1 “平衡”是相对于旋转坐标系静止¶

平衡点指第三体在旋转坐标系中保持固定位置。因此它在旋转系中的速度和加速度均为零：

\[ \dot x=\dot y=\dot z=0, \]

\[ \ddot x=\ddot y=\ddot z=0. \]

代入运动方程可得

\[ \boxed{ \Omega_x=\Omega_y=\Omega_z=0 } \]

或写成向量形式：

\[ \boxed{ \nabla\Omega=\boldsymbol 0 } \]

这意味着平衡点是伪势函数的驻点。

此时科里奥利项也自动消失，因为科里奥利效应依赖旋转系相对速度：

\[ \boldsymbol a_{\mathrm{cor}} =-2\boldsymbol\omega\times\boldsymbol v_R. \]

当 $\boldsymbol v_R=\boldsymbol 0$ 时，$\boldsymbol a_{\mathrm{cor}}=\boldsymbol 0$。所以平衡点处真正参与平衡的是：

\[ \boxed{ \text{两个主天体的引力加速度} +\text{离心加速度} =\boldsymbol 0 } \]

这里的“静止”只对旋转观察者成立。在惯性坐标系中，平衡点仍然和两个主天体一起绕质心旋转。

可以把它想象成旋转木马上的一个固定标记：坐在木马上的人认为它没有移动；站在地面上的人却看到它持续绕圆运动。

12.2 五个平衡点都在 $xy$ 平面¶

伪势函数的 $z$ 方向偏导数为

\[ \Omega_z =-\frac{(1-\mu)z}{d^3} -\frac{\mu z}{r^3}. \]

提取 $z$：

\[ \Omega_z =-z\left( \frac{1-\mu}{d^3} +\frac{\mu}{r^3} \right). \]

平衡条件要求 $\Omega_z=0$。括号中的两项均为正数，因此只有

\[ \boxed{z=0} \]

才能满足条件。

所以 CR3BP 的所有平衡点都位于两个主天体的轨道平面内。

12.3 五个拉格朗日点的总体分布¶

CR3BP 共有五个平衡点，也叫拉格朗日点或平动点（libration points）：

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                              L4
                              ●
                             / \
                            /   \
          L3        P1    L1     P2        L2
          ●---------●-----●------●---------●------→ x
                            \   /
                             \ /
                              ●
                              L5

$L_1$ 位于两个主天体之间；
$L_2$ 位于较小主天体 $P_2$ 的外侧；
$L_3$ 位于较大主天体 $P_1$ 的另一侧；
$L_4,L_5$ 与两个主天体构成等边三角形。

其中 $L_1,L_2,L_3$ 是共线点，通常需要数值求解；$L_4,L_5$ 是等边三角形点，可以直接得到解析坐标。

平衡点不等于稳定点。$\nabla\Omega=\boldsymbol 0$ 只说明物体精确位于该点且相对速度为零时，瞬时合加速度为零。稍微偏离后是返回还是继续远离，需要另外研究平衡点附近的线性化动力学。

13. 三个共线拉格朗日点 $L_1,L_2,L_3$¶

13.1 共线点的标量方程¶

共线点位于 $x$ 轴，所以

\[ y=z=0. \]

此时 $\Omega_y=\Omega_z=0$ 自动成立，只需解

\[ \Omega_x=0. \]

由此前的伪势梯度可得

\[ \boxed{ f(x)=\Omega_x =x -\frac{(1-\mu)(x+\mu)}{|x+\mu|^3} -\frac{\mu(x-1+\mu)}{|x-1+\mu|^3} =0 } \]

绝对值不能随意忽略，因为三个点位于不同区间：

平衡点	所在区间
$L_3$	$x<-\mu$
$L_1$	$-\mu<x<1-\mu$
$L_2$	$x>1-\mu$

例如 $L_1$ 位于两个主天体之间，所以

\[ x+\mu>0, \qquad x-1+\mu<0. \]

同一个距离项在不同区间具有不同方向符号。把分母直接写成 $(x+\mu)^3$ 或 $(x-1+\mu)^3$ 而不检查所在区间，很容易得到错误方程。

13.2 用 $\gamma_i$ 表示到最近主天体的距离¶

为了让未知量始终为正数，常用 $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ 表示共线点到最近主天体的距离。

$L_1$ 点¶

$L_1$ 位于 $P_2$ 左侧。若 $\gamma_1$ 是 $P_2$ 到 $L_1$ 的距离，则

\[ x_{L_1}=1-\mu-\gamma_1. \]

$L_1$ 到 $P_1$ 和 $P_2$ 的距离分别为

\[ d=1-\gamma_1, \qquad r=\gamma_1. \]

代入 $\Omega_x=0$ 可得

\[ \boxed{ 1-\mu-\gamma_1 =\frac{1-\mu}{(1-\gamma_1)^2} -\frac{\mu}{\gamma_1^2} } \]

$L_2$ 点¶

$L_2$ 位于 $P_2$ 右侧。若 $\gamma_2$ 是 $P_2$ 到 $L_2$ 的距离，则

\[ x_{L_2}=1-\mu+\gamma_2. \]

相应距离为

\[ d=1+\gamma_2, \qquad r=\gamma_2. \]

平衡方程为

\[ \boxed{ 1-\mu+\gamma_2 =\frac{1-\mu}{(1+\gamma_2)^2} +\frac{\mu}{\gamma_2^2} } \]

$L_3$ 点¶

$L_3$ 位于 $P_1$ 左侧。若 $\gamma_3$ 是 $P_1$ 到 $L_3$ 的距离，则

\[ x_{L_3}=-(\mu+\gamma_3). \]

平衡方程为

\[ \boxed{ \mu+\gamma_3 =\frac{1-\mu}{\gamma_3^2} +\frac{\mu}{(1+\gamma_3)^2} } \]

这三个方程经过整理后都会产生五次多项式。一般五次方程没有适用于任意系数的简单根式解，因此通常使用数值求根方法。

13.3 数值求根的基本想法¶

可以采用：

二分法；
Newton–Raphson 法；
割线法；
regula falsi，即假位法。

以 Newton–Raphson 法为例，若要求 $g(\gamma)=0$，迭代形式为

\[ \gamma^{(k+1)} =\gamma^{(k)} -\frac{g(\gamma^{(k)})}{g'(\gamma^{(k)})}. \]

每一步都用当前点处的切线近似函数，再用切线与横轴的交点作为下一次猜测。

这里最重要的不是背下迭代公式，而是先用几何位置确定正确区间。否则数值算法可能收敛到另一个平衡点，或者跨过主天体位置处的奇点。

13.4 地球—月球系统的共线点¶

地球—月球系统的质量参数约为

\[ \mu\approx0.01215. \]

论文给出的无量纲结果为：

量	$L_1$	$L_2$	$L_3$
到最近主天体的距离 $\gamma_i$	$0.1509342$	$0.1678327$	$0.9929121$
质心坐标 $x_{L_i}$	$0.8369152$	$1.1556821$	$-1.0050626$

其中：

$\gamma_1$ 是 $L_1$ 到月球的距离；
$\gamma_2$ 是 $L_2$ 到月球的距离；
$\gamma_3$ 是 $L_3$ 到地球的距离；
$x_{L_i}$ 则是相对于地月质心的坐标。

因此 $\gamma_i$ 和 $x_{L_i}$ 不能混为一谈。

若取地月特征长度

\[ l^*\approx3.8439\times10^5\ \mathrm{km}, \]

则 $L_1$ 到月球的距离约为

\[ \gamma_1l^* \approx0.1509342\times3.8439\times10^5 \approx5.80\times10^4\ \mathrm{km}. \]

14. 等边三角形点 $L_4,L_5$¶

14.1 从 $y$ 方向平衡条件出发¶

对于 $L_4,L_5$，有

\[ y\ne0. \]

$y$ 方向平衡条件为

\[ \Omega_y =y -\frac{(1-\mu)y}{d^3} -\frac{\mu y}{r^3} =0. \]

因为 $y\ne0$，可以除以 $y$：

\[ 1 -\frac{1-\mu}{d^3} -\frac{\mu}{r^3} =0. \]

再与 $x$ 方向平衡条件联立，可以得到

\[ \boxed{d=r=1}. \]

这表示 $L_4$ 或 $L_5$ 到两个主天体的距离，都等于两个主天体之间的距离。

因此 $P_1,P_2,L_4$ 和 $P_1,P_2,L_5$ 分别构成等边三角形。

14.2 $L_4,L_5$ 的解析坐标¶

两个主天体之间的中点坐标为

\[ x_{\mathrm{mid}} =\frac{-\mu+(1-\mu)}{2} =\frac12-\mu. \]

单位边长等边三角形的高度是

\[ \frac{\sqrt3}{2}. \]

所以

\[ \boxed{ x_{L_{4,5}}=\frac12-\mu } \]

以及

\[ \boxed{ y_{L_{4,5}}=\pm\frac{\sqrt3}{2} } \]

即

\[ L_4= \left( \frac12-\mu, \frac{\sqrt3}{2}, 0 \right), \]

\[ L_5= \left( \frac12-\mu, -\frac{\sqrt3}{2}, 0 \right). \]

按照本文采用的旋转方向约定，$L_5$ 是 trailing point，即拖后点。

对于地球—月球系统：

\[ x_{L_4}=x_{L_5} \approx0.4878494, \]

\[ y_{L_4}\approx0.8660254, \qquad y_{L_5}\approx-0.8660254. \]

注意，$y$ 坐标在无量纲模型中与 $\mu$ 无关，但转换成公里后仍要乘以不同系统各自的特征长度 $l^*$。

15. 雅可比积分¶

积分常数可以降低动力系统中相互独立的状态维数，并帮助判断轨迹的总体行为。CR3BP 在旋转坐标系中存在一个非常重要的守恒量：雅可比常数。

15.1 将运动方程分别与速度相乘¶

三条运动方程为

\[ \ddot x-2\dot y=\Omega_x, \]

\[ \ddot y+2\dot x=\Omega_y, \]

\[ \ddot z=\Omega_z. \]

分别乘以 $\dot x,\dot y,\dot z$ 并相加：

\[ (\ddot x-2\dot y)\dot x +(\ddot y+2\dot x)\dot y +\ddot z\dot z =\Omega_x\dot x +\Omega_y\dot y +\Omega_z\dot z. \]

展开左边：

\[ \ddot x\dot x -2\dot x\dot y +\ddot y\dot y +2\dot x\dot y +\ddot z\dot z. \]

两个科里奥利交叉项恰好抵消：

\[ -2\dot x\dot y+2\dot x\dot y=0. \]

因此

\[ \ddot x\dot x +\ddot y\dot y +\ddot z\dot z =\Omega_x\dot x +\Omega_y\dot y +\Omega_z\dot z. \]

科里奥利项能够抵消并不是巧合。科里奥利加速度始终垂直于旋转系速度，所以它不直接改变速度大小：

\[ \boldsymbol v_R\cdot\boldsymbol a_{\mathrm{cor}}=0. \]

15.2 把两边识别成全导数¶

左边是速度平方的一半对时间的导数：

\[ \ddot x\dot x +\ddot y\dot y +\ddot z\dot z =\frac{d}{d\tau} \left[ \frac12 (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2) \right]. \]

右边根据多元函数链式法则为

\[ \frac{d\Omega}{d\tau} =\Omega_x\dot x +\Omega_y\dot y +\Omega_z\dot z. \]

所以

\[ \frac{d}{d\tau} \left[ \frac12 (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2) -\Omega \right] =0. \]

括号里的量沿轨迹保持常数。为了符合 CR3BP 文献中的习惯，把积分常数写成 $-C/2$：

\[ \frac12 (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2) =\Omega-\frac C2. \]

定义旋转坐标系中的速度大小

\[ v=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}, \]

得到雅可比积分：

\[ \boxed{ v^2=2\Omega-C } \]

以及雅可比常数：

\[ \boxed{ C=2\Omega-v^2 } \]

15.3 雅可比常数与普通机械能的区别¶

$C$ 很像能量守恒式，因为它把位置项和速度项联系在一起。但它不是惯性坐标系中通常所说的机械能：

$v$ 是相对于旋转坐标系的速度；
$\Omega$ 混合了真实引力和虚拟离心效应；
$C$ 的速度项带负号；
$C$ 的定义依赖 CR3BP 的无量纲化和旋转坐标系。

比较安全的表述是：

雅可比常数是 CR3BP 在旋转坐标系中的一个能量型守恒量。

对于同一条理想 CR3BP 轨迹，$C$ 应当始终不变。因此在计算机数值积分中，可以沿轨迹重复计算

\[ C(\tau)=2\Omega(\tau)-v^2(\tau). \]

如果 $C(\tau)$ 出现明显的系统性漂移，可能意味着：

积分步长过大；
数值积分器精度不足；
运动方程或坐标转换实现有误；
计算中加入了推力或其他非保守作用，此时原始 CR3BP 的 $C$ 不再严格守恒。

15.4 平衡点处的雅可比常数¶

平衡点在旋转系中的速度为零，因此

\[ v=0. \]

每个拉格朗日点对应的临界雅可比常数是

\[ \boxed{ C_{L_i}=2\Omega(L_i) } \]

地球—月球系统的数值约为：

平衡点	临界雅可比常数
$L_1$	$3.188341$
$L_2$	$3.172160$
$L_3$	$3.012147$
$L_4,L_5$	$2.987997$

$L_4$ 与 $L_5$ 的雅可比常数相等，因为二者关于 $x$ 轴对称，而 $\Omega$ 对 $y$ 的依赖只通过 $y^2$ 和距离出现。

16. 零速度曲线与零速度面¶

16.1 从“速度平方不能为负”出发¶

雅可比积分给出

\[ v^2=2\Omega-C. \]

真实速度必须是实数，因此

\[ v^2\ge0. \]

所以给定雅可比常数 $C$ 后，允许的位置必须满足

\[ \boxed{ 2\Omega(x,y,z)-C\ge0 } \]

空间因此被分成三类：

条件	含义
$2\Omega-C>0$	允许区域，可以存在实数速度
$2\Omega-C=0$	零速度边界，此处所需速度为零
$2\Omega-C<0$	禁区，因为方程要求 $v^2<0$

禁区不是由一堵真实的墙围成，也不是那里存在无限大的斥力。它表示：在保持同一个雅可比常数的前提下，该位置所要求的速度平方为负数，因此不可能被真实轨迹访问。

16.2 零速度面和零速度曲线¶

令 $v=0$，有

\[ C=2\Omega. \]

展开后：

\[ \boxed{ C =x^2+y^2 +\frac{2(1-\mu)}{d} +\frac{2\mu}{r} } \]

在三维位置空间中，这个方程定义一个曲面，称为零速度面（zero-velocity surface）。

令 $z=0$，得到零速度面与 $xy$ 平面的交线，称为零速度曲线（zero-velocity curve）。

“零速度”描述的是边界上由雅可比积分推得的瞬时速度大小，并不意味着黑色曲线本身是一条航天器轨道。

16.3 降低 $C$ 会扩大允许区域¶

允许条件是

\[ 2\Omega\ge C. \]

如果把右边的 $C$ 降低，这个不等式会在更多位置成立。因此一般有

\[ \boxed{ C\ \text{降低} \quad\Longrightarrow\quad \text{允许区域扩大、禁区收缩} } \]

虽然 $C$ 不是普通机械能，但从可达区域角度，可以粗略地把“较低的 $C$”理解为“较高的可用能量水平”。

16.4 拉格朗日点为什么成为通道¶

在拉格朗日点处

\[ \nabla\Omega=\boldsymbol 0, \]

并且临界值满足

\[ C_{L_i}=2\Omega(L_i). \]

当系统的 $C$ 穿过某个 $C_{L_i}$ 时，零速度边界恰好在相应拉格朗日点处发生拓扑变化：

$C>C_{L_i}$ 时，通道关闭；
$C=C_{L_i}$ 时，边界在 $L_i$ 处刚好接触；
$C<C_{L_i}$ 时，通道打开并随着 $C$ 继续下降而变宽。

可以把它类比成山口：山口不是整个地形中最低的点，却是从一个山谷通往另一个山谷时最先可以翻越的位置。拉格朗日点在零速度边界中扮演类似“鞍口”的角色。

16.5 Hénon 对称系统中通道打开的顺序¶

Hénon 系统取

\[ \mu=0.5, \]

所以两个主天体质量相等，图形关于 $y$ 轴对称。其临界值约为

\[ C_{L_1}=4.0, \]

\[ C_{L_2}=C_{L_3}=3.456796, \]

\[ C_{L_4}=C_{L_5}=2.75. \]

随着 $C$ 下降：

当 $C>4.0$ 时，两个主天体附近的允许区域彼此隔离；
当 $3.456796<C<4.0$ 时，$L_1$ 通道打开，两个主天体附近可以互通；
当 $2.75<C<3.456796$ 时，$L_2,L_3$ 附近的通道也打开，内部区域可以与外部连通；
当 $C<2.75$ 时，零速度禁区从整个 $xy$ 平面中消失。

图 2.4 取 $$ C=3.75. $$

因为

\[ C_{L_2,L_3}<3.75<C_{L_1}, \]

所以此时：

$L_1$ 通道已经打开；
两个主天体附近的内部允许区域连成花生形；
$L_2,L_3$ 外部通道仍然关闭；
内部允许区域与远处外部允许区域仍被禁区隔开。

下面的交互图使用同一个 Hénon 系统。拖动 $C$，可以观察 $L_1,L_2,L_3$ 附近的通道如何依次打开。

16.6 地球—月球系统中的不对称性¶

地球—月球系统的

\[ \mu\approx0.01215 \]

远小于 $0.5$。因此地球占据绝大部分质量，质心靠近地球，整个伪势结构也不再左右对称。

地月系统中：

$L_1,L_2$ 都位于月球附近；
$C_{L_1}\ne C_{L_2}\ne C_{L_3}$；
三个通道在不同的 $C$ 值下依次打开；
地球一侧的允许区域比 Hénon 对称系统中更加占主导地位。

根据上文（15.4）列出的临界值，地月系统随 $C$ 下降的大致顺序是：$L_1\quad\longrightarrow\quad L_2\quad\longrightarrow\quad L_3\quad\longrightarrow\quad L_4,L_5.$

16.7 三维零速度面的含义¶

二维零速度曲线只是三维零速度面在 $z=0$ 平面上的切片。

在三维图像中，二维的“开口”变成具有有限横截面的颈部或隧道。例如：

$L_1$ 通道允许两个主天体附近的三维区域相互连接；
$L_2,L_3$ 通道允许内部区域与外部空间连接；
隧道在 $x,y,z$ 三个方向上的宽度可以不同；
随着 $C$ 降低，通道通常逐渐变宽。

但是零速度面只回答：

给定这个 $C$，某个位置在能量条件上是否可能访问？

它并不直接回答：

从当前给定的初始位置和速度出发，是否真的存在一条轨道到达那里？

允许区域只是必要条件，不是充分条件。真实转移轨道还取决于完整运动方程、初始状态、稳定与不稳定流形等动力学结构。

17. 概念梳理¶

伪势的二次项对应离心效应，不对应科里奥利效应 $$ \frac12(x^2+y2) $$

是离心效应对应的伪势项。

科里奥利效应依赖速度，保留在

\[ -2\dot y, \qquad 2\dot x \]

两个交叉速度项中，不能由只依赖位置的标量势产生。

拉格朗日点在旋转系静止，不是在惯性系静止

精确位于拉格朗日点的物体与两个主天体保持固定的相对几何位置，但三者仍共同绕质心旋转。

平衡不等于稳定 $$ \nabla\Omega=\boldsymbol0 $$

只给出平衡条件。稳定性需要研究小扰动在时间中是衰减、保持有界还是增长。

零速度曲线不是轨道

零速度曲线是 $2\Omega=C$ 的等值线，是允许区域与禁区的边界。航天器一般不会沿着这条线运动。

允许访问不等于一定能够到达

$2\Omega-C\ge0$ 只说明该位置不会要求虚数速度。它没有保证某个具体初始条件一定能到达该位置。

$C$ 越小，可达区域通常越大

这与“能量越大越容易越过障碍”的直觉是一致的，但应注意：雅可比常数的定义是$C=2\Omega-v^2,$所以在这种符号约定下，较高的能量型水平对应较低的 $C$。

18. 本篇涉及的符号术语表¶

符号	含义
$L_1,L_2,L_3$	位于 $x$ 轴上的三个共线拉格朗日点
$L_4,L_5$	与两个主天体构成等边三角形的拉格朗日点
$\gamma_1$	$L_1$ 到 $P_2$ 的无量纲距离
$\gamma_2$	$L_2$ 到 $P_2$ 的无量纲距离
$\gamma_3$	$L_3$ 到 $P_1$ 的无量纲距离
$v$	第三体相对于旋转坐标系的速度大小
$C$	雅可比常数
$C_{L_i}$	第 $i$ 个拉格朗日点对应的临界雅可比常数
$2\Omega-C>0$	允许区域，存在实数速度
$2\Omega-C=0$	零速度边界
$2\Omega-C<0$	禁区，要求 $v^2<0$
zero-velocity curve	零速度面与 $xy$ 平面的交线
zero-velocity surface	三维位置空间中的零速度边界

19. 本篇总结¶

从前一篇笔记的伪势函数出发，CR3BP 的平衡条件是

\[ \boxed{ \nabla\Omega=\boldsymbol0 } \]

它产生五个拉格朗日点：三个数值求解的共线点 $L_1,L_2,L_3$，以及两个具有解析坐标的等边三角形点 $L_4,L_5$。

将三条运动方程分别与速度相乘后，科里奥利交叉项抵消，得到雅可比积分：

\[ \boxed{ C=2\Omega-v^2 } \]

速度平方必须非负，因此给定 $C$ 后的允许区域满足

\[ \boxed{ 2\Omega-C\ge0 } \]

其边界

\[ \boxed{ 2\Omega=C } \]

就是零速度面。随着 $C$ 降低，允许区域扩大，零速度边界会依次在拉格朗日点附近打开通道。

$\Omega$ 描述位置相关的有效作用，$C$ 把位置与速度约束在同一个守恒关系中，而零速度面把这种约束变成可以直接观察的几何边界。

可以把本篇的核心逻辑压缩成：

\[ \boxed{ \text{伪势函数} \ \longrightarrow\ \text{拉格朗日点} \ \longrightarrow\ \text{雅可比常数} \ \longrightarrow\ \text{零速度边界与可达区域} } \]

平衡点	所在区间
\(L_3\)	\(x<-\mu\)
\(L_1\)	\(-\mu<x<1-\mu\)
\(L_2\)	\(x>1-\mu\)

量	\(L_1\)	\(L_2\)	\(L_3\)
到最近主天体的距离 \(\gamma_i\)	\(0.1509342\)	\(0.1678327\)	\(0.9929121\)
质心坐标 \(x_{L_i}\)	\(0.8369152\)	\(1.1556821\)	\(-1.0050626\)

平衡点	临界雅可比常数
\(L_1\)	\(3.188341\)
\(L_2\)	\(3.172160\)
\(L_3\)	\(3.012147\)
\(L_4,L_5\)	\(2.987997\)

符号	含义
\(L_1,L_2,L_3\)	位于 \(x\) 轴上的三个共线拉格朗日点
\(L_4,L_5\)	与两个主天体构成等边三角形的拉格朗日点
\(\gamma_1\)	\(L_1\) 到 \(P_2\) 的无量纲距离
\(\gamma_2\)	\(L_2\) 到 \(P_2\) 的无量纲距离
\(\gamma_3\)	\(L_3\) 到 \(P_1\) 的无量纲距离
\(v\)	第三体相对于旋转坐标系的速度大小
\(C\)	雅可比常数
\(C_{L_i}\)	第 \(i\) 个拉格朗日点对应的临界雅可比常数
\(2\Omega-C>0\)	允许区域，存在实数速度
\(2\Omega-C=0\)	零速度边界
\(2\Omega-C<0\)	禁区，要求 \(v^2<0\)
zero-velocity curve	零速度面与 \(xy\) 平面的交线
zero-velocity surface	三维位置空间中的零速度边界

圆型限制性三体问题（CR3BP）：平衡点、雅可比常数与零速度面¶

12. CR3BP 的平衡解¶

12.1 “平衡”是相对于旋转坐标系静止¶

12.2 五个平衡点都在 \(xy\) 平面¶

12.3 五个拉格朗日点的总体分布¶

13. 三个共线拉格朗日点 \(L_1,L_2,L_3\)¶

13.1 共线点的标量方程¶

13.2 用 \(\gamma_i\) 表示到最近主天体的距离¶

\(L_1\) 点¶

\(L_2\) 点¶

\(L_3\) 点¶