根轨迹法则¶

根轨迹绘制法则¶

根轨迹是分析控制系统闭环极点随参数（通常是开环增益 $K$）变化的重要工具。其绘制遵循一系列基本法则，核心依据是根轨迹的幅角条件和幅值条件。

📝 根轨迹绘制核心法则详解¶

下表汇总了绘制根轨迹时需遵循的基本法则。幅角条件是根轨迹的充要条件，即s平面上满足幅角条件的点才在根轨迹上；幅值条件则用于确定根轨迹上特定点所对应的参数值（如K值）。

法则序号	法则内容	180°根轨迹（负反馈系统）	0°根轨迹（正反馈系统等）
1	根轨迹的分支数、对称性和连续性	分支数等于系统阶数 $n$（即闭环特征方程的根的个数），轨迹连续且对称于实轴。	同180°根轨迹。
2	起点和终点	起始于开环极点 ($K=0$)，终止于开环零点 ($K \to \infty$)。若 $n > m$，则有 $n-m$ 条轨迹趋向于无穷远处。	同180°根轨迹。
3	实轴上的分布	实轴上某线段右侧的开环实数零、极点数目之和为奇数时，该线段是根轨迹的一部分。口诀常记作“奇是偶不是”。	右侧的开环实数零、极点数目之和为偶数时，该线段是根轨迹。
4	渐近线	当 $n > m$ 时，有 $n-m$ 条渐近线。交点坐标：$\sigma_a = \frac{\sum_{j=1}^{n} p_j - \sum_{i=1}^{m} z_i}{n-m}$。夹角：$\varphi_a = \frac{(2k+1)\pi}{n-m},\ k=0,1,2,...,n-m-1$。	交点坐标计算同180°根轨迹。夹角：$\varphi_a = \frac{2k\pi}{n-m},\ k=0,1,2,...,n-m-1$。
5	分离点/会合点	多条根轨迹分支在实轴上相遇又分开的点。其坐标 $d$ 通常由方程 $\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{d-p_j} = \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{d-z_i}$ 解出。需验证解是否在根轨迹上且对应的 $K>0$。	计算方法同180°根轨迹。
6	与虚轴的交点	可用劳斯判据求临界增益 $K_c$，并用辅助方程解交点频率 $\omega$。或令闭环特征方程中的 $s=j\omega$，分别令实部和虚部为零求解 $\omega$ 和 $K$。	计算方法同180°根轨迹，但需注意特征方程形式可能不同。
7	出射角与入射角	出射角（从开环复数极点出发的角度）：$\theta_{p_k} = 180^\circ + \sum_{i=1}^{m} \angle(p_k - z_i) - \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq k}}^{n} \angle(p_k - p_j)$。入射角（到达开环复数零点的角度）：$\theta_{z_k} = 180^\circ - \sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^{m} \angle(z_k - z_i) + \sum_{j=1}^{n} \angle(z_k - p_j)$。	出射角：$\theta_{p_k} = 0^\circ + \sum_{i=1}^{m} \angle(p_k - z_i) - \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq k}}^{n} \angle(p_k - p_j)$。入射角：$\theta_{z_k} = 0^\circ - \sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^{m} \angle(z_k - z_i) + \sum_{j=1}^{n} \angle(z_k - p_j)$。
8	闭环极点之和与积	当 $n-m \geq 2$ 时，闭环极点之和等于开环极点之和，为常数。此性质可用于判断根轨迹的走向。	同180°根轨迹。

🔄 参数根轨迹（广义根轨迹）¶

当可变参数不是开环增益 $K$，而是其他参数（如时间常数、反馈系数等）时，需要绘制参数根轨迹。绘制步骤通常如下：

写出原系统的闭环特征方程：$1 + G(s)H(s) = 0$。
构造等效系统：将特征方程进行代数变形，分离出可变参数 $a$，使其占据原根轨迹增益 $K$ 的位置，形成如 $1 + a \frac{P(s)}{Q(s)} = 0$ 的形式。
绘制等效根轨迹：将 $\frac{P(s)}{Q(s)}$ 视为等效开环传递函数，参数 $a$ 视为等效根轨迹增益，应用前述基本法则绘制根轨迹。

示例：对于开环传递函数 $G_k(s) = \frac{K}{s(s+a)}$，若以 $a$ 为参变量（设 $K=1$），其特征方程为 $s^2 + a s + 1 = 0$。可变形为 $1 + a \frac{s}{s^2 + 1} = 0$。此时，等效开环传递函数为 $G^*(s) = \frac{s}{s^2 + 1}$，然后按常规法则绘制以 $a$ 为变量的根轨迹。

💎 总结与应用提示¶

核心依据：牢记幅角条件是判断根轨迹的充要条件，所有法则都由此推导而来。
系统类型判断：首先明确系统是负反馈（通常为180°根轨迹）还是正反馈（通常为0°根轨迹），或者开环传递函数是否经过变换导致需要采用0°根轨迹规则。
参数根轨迹处理：通过特征方程变形，可将参数根轨迹转化为常规根轨迹问题处理。
绘制顺序：通常按上表所列法则顺序进行，先确定分支、起点终点、实轴分布、渐近线等大框架，再求分离点、与虚轴交点等细节，最后对复数零极点考虑出射角/入射角，这样能提高绘图效率。

180度根轨迹、0度根轨迹和参数根轨迹的判断方法¶

理解180度根轨迹、0度根轨迹和参数根轨迹的区别与判断方法，是掌握根轨迹分析的关键。下面这个表格能帮你快速梳理它们的核心差异。

分析维度	180度根轨迹 (常规根轨迹)	0度根轨迹 (补根轨迹/正反馈根轨迹)	参数根轨迹 (广义根轨迹)
本质与来源	源于负反馈系统特征方程 $1 + G(s)H(s) = 0$，即 $G(s)H(s) = -1$	源于正反馈系统或特定情况下的特征方程 $1 - G(s)H(s) = 0$，即 $G(s)H(s) = 1$	研究*除开环增益K以外**的参数（如时间常数、质量等）变化的影响
相角条件	$\sum \angle(s-z_j) - \sum \angle(s-p_i) = (2k+1)\pi$ (180° 等相角条件)	$\sum \angle(s-z_j) - \sum \angle(s-p_i) = 2k\pi$ (0° 等相角条件)	取决于等效后的特征方程形式，可能是180度或0度条件
主要应用场景	最常用，分析负反馈系统中开环增益K*变化对闭环极点的作用	分析正反馈系统、非最小相位系统或某些特定参数下增益为负的系统	分析任意可变参数（如T, a等）对系统性能的影响，增益K*固定
关键判断方法	检查标准特征方程是否化为 $1 + G(s)H(s) = 0$ 且 $G(s)H(s)$ 为首一标准型（s项系数为正）	检查特征方程是否化为 $1 - G(s)H(s) = 0$ 的形式，或系统明确为正反馈结构	核心步骤是构造等效开环传递函数，将可变参数提到与K*相当的位置
绘制规则差异 (与180度比较)	基准规则	1. 实轴上根轨迹：其右侧实轴上的开环零、极点数目之和为偶数的区域（偶是奇不是）。 2. 渐近线夹角：$\phi_k = \frac{2k\pi}{n-m}$。 3. 出射角/入射角计算公式不同。	绘制法则与常规根轨迹相同，关键在于正确构造等效开环传递函数后，根据其形式判断适用180度还是0度规则。

💡 解题时的核心判断流程与技巧¶

面对具体题目时，清晰的判断流程至关重要：

第一步：识别可变参数
如果可变参数是开环增益 $K$（或根轨迹增益 $K^*$），则通常为常规根轨迹（180度或0度）问题。
如果可变参数是其他参数（如时间常数、某个环节的参数等），并且开环增益固定，则属于参数根轨迹问题。
第二步：判断是180度还是0度根轨迹
这是最容易混淆的地方。最可靠的方法是回归到系统的闭环特征方程。
黄金法则：将闭环特征方程整理为关于可变参数的标准形式： $$1 + \text{(含可变参数的项)} = 0$$
然后，检查“含可变参数的项”的符号：
- 如果符号为 “+”，即形如 $1 + F(s) = 0$，则绘制 180度根轨迹。
- 如果符号为 “-”，即形如 $1 - F(s) = 0$，则绘制 0度根轨迹。
重要提醒：不要简单地认为负反馈就是180度，正反馈就是0度。必须由特征方程最终的形式来决定。例如，某些单位负反馈系统，经过变换后其特征方程可能呈现 $1 - G(s)H(s) = 0$ 的形式，此时反而需要画0度根轨迹。
第三步：参数根轨迹的等效变换
对于参数根轨迹，核心任务是构造一个等效的开环传递函数 $G_{eq}(s)H_{eq}(s)$，使得新系统的特征方程与原系统一致，且可变参数扮演的角色等同于常规根轨迹中的 $K^*$。
通用步骤：
- a. 写出原系统的闭环特征方程 $D(s) = 0$。
- b. 将含有待研究参数（设为 $\alpha$）的项与不含它的项分开。
- c. 将方程两边同时除以不含 $\alpha$ 的项，从而将方程化为标准形式：$1 + \alpha \frac{P(s)}{Q(s)} = 0$。
- d. 此时，等效开环传递函数即为 $G_{eq}(s)H_{eq}(s) = \alpha \frac{P(s)}{Q(s)}$。
- e. 根据此等效传递函数，判断应绘制180度还是0度根轨迹，然后按相应规则绘制即可。

🧠 避免常见误区¶

误区一：“负反馈画180度，正反馈画0度。”——不完全正确，最终要由特征方程的形式决定。
误区二：“参数根轨迹的规则完全不同。”——不对，参数根轨迹的绘制规则在完成等效后，与常规根轨迹完全一样。
关注差异点：在绘制时，要特别关注180度与0度根轨迹在实轴分布规则、渐近线夹角和出射角/入射角计算上的不同，这是正确作图的关键。

以上判断方法主要基于理论推导和常见规则，实际应用中请以题目给出的具体条件和要求为准。

法则序号	法则内容	180°根轨迹（负反馈系统）	0°根轨迹（正反馈系统等）
1	根轨迹的分支数、对称性和连续性	分支数等于系统阶数 \(n\)（即闭环特征方程的根的个数），轨迹连续且对称于实轴。	同180°根轨迹。
2	起点和终点	起始于开环极点 (\(K=0\))，终止于开环零点 (\(K \to \infty\))。若 \(n > m\)，则有 \(n-m\) 条轨迹趋向于无穷远处。	同180°根轨迹。
3	实轴上的分布	实轴上某线段右侧的开环实数零、极点数目之和为奇数时，该线段是根轨迹的一部分。口诀常记作“奇是偶不是”。	右侧的开环实数零、极点数目之和为偶数时，该线段是根轨迹。
4	渐近线	当 \(n > m\) 时，有 \(n-m\) 条渐近线。交点坐标：\(\sigma_a = \frac{\sum_{j=1}^{n} p_j - \sum_{i=1}^{m} z_i}{n-m}\)。夹角：\(\varphi_a = \frac{(2k+1)\pi}{n-m},\ k=0,1,2,...,n-m-1\)。	交点坐标计算同180°根轨迹。夹角：\(\varphi_a = \frac{2k\pi}{n-m},\ k=0,1,2,...,n-m-1\)。
5	分离点/会合点	多条根轨迹分支在实轴上相遇又分开的点。其坐标 \(d\) 通常由方程 \(\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{d-p_j} = \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{d-z_i}\) 解出。需验证解是否在根轨迹上且对应的 \(K>0\)。	计算方法同180°根轨迹。
6	与虚轴的交点	可用劳斯判据求临界增益 \(K_c\)，并用辅助方程解交点频率 \(\omega\)。或令闭环特征方程中的 \(s=j\omega\)，分别令实部和虚部为零求解 \(\omega\) 和 \(K\)。	计算方法同180°根轨迹，但需注意特征方程形式可能不同。
7	出射角与入射角	出射角（从开环复数极点出发的角度）：\(\theta_{p_k} = 180^\circ + \sum_{i=1}^{m} \angle(p_k - z_i) - \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq k}}^{n} \angle(p_k - p_j)\)。入射角（到达开环复数零点的角度）：\(\theta_{z_k} = 180^\circ - \sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^{m} \angle(z_k - z_i) + \sum_{j=1}^{n} \angle(z_k - p_j)\)。	出射角：\(\theta_{p_k} = 0^\circ + \sum_{i=1}^{m} \angle(p_k - z_i) - \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq k}}^{n} \angle(p_k - p_j)\)。入射角：\(\theta_{z_k} = 0^\circ - \sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^{m} \angle(z_k - z_i) + \sum_{j=1}^{n} \angle(z_k - p_j)\)。
8	闭环极点之和与积	当 \(n-m \geq 2\) 时，闭环极点之和等于开环极点之和，为常数。此性质可用于判断根轨迹的走向。	同180°根轨迹。

分析维度	180度根轨迹 (常规根轨迹)	0度根轨迹 (补根轨迹/正反馈根轨迹)	参数根轨迹 (广义根轨迹)
本质与来源	源于负反馈系统特征方程 \(1 + G(s)H(s) = 0\)，即 \(G(s)H(s) = -1\)	源于正反馈系统或特定情况下的特征方程 \(1 - G(s)H(s) = 0\)，即 \(G(s)H(s) = 1\)	研究*除开环增益K以外**的参数（如时间常数、质量等）变化的影响
相角条件	\(\sum \angle(s-z_j) - \sum \angle(s-p_i) = (2k+1)\pi\) (180° 等相角条件)	\(\sum \angle(s-z_j) - \sum \angle(s-p_i) = 2k\pi\) (0° 等相角条件)	取决于等效后的特征方程形式，可能是180度或0度条件
主要应用场景	最常用，分析负反馈系统中开环增益K*变化对闭环极点的作用	分析正反馈系统、非最小相位系统或某些特定参数下增益为负的系统	分析任意可变参数（如T, a等）对系统性能的影响，增益K*固定
关键判断方法	检查标准特征方程是否化为 \(1 + G(s)H(s) = 0\) 且 \(G(s)H(s)\) 为首一标准型（s项系数为正）	检查特征方程是否化为 \(1 - G(s)H(s) = 0\) 的形式，或系统明确为正反馈结构	核心步骤是构造等效开环传递函数，将可变参数提到与K*相当的位置
绘制规则差异 (与180度比较)	基准规则	1. 实轴上根轨迹：其右侧实轴上的开环零、极点数目之和为偶数的区域（偶是奇不是）。 2. 渐近线夹角：\(\phi_k = \frac{2k\pi}{n-m}\)。 3. 出射角/入射角计算公式不同。	绘制法则与常规根轨迹相同，关键在于正确构造等效开环传递函数后，根据其形式判断适用180度还是0度规则。